3248 - 社交网络
在社交网络的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。在一个社交圈子里有n 个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n 个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c ，c 越小，表示两个人之间的关系越密切。
我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s 和t 之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为s 和t 的联系提供了某种便利，即这些结点对于s 和t 之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v 的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A 和B 之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目；则定义
<span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">为结点</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">v </span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">在社交网络中的重要程度。为了使</span><span style="font-size:10.5pt;font-family:""><span style="font-size:10.5pt;font-family:""><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;"><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">I(v)</span></i></span></i></span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;"></span></span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;"><span> </span></span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">和</span><span style="font-size:10.5pt;font-family:""><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;"><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">C<sub>s,t</sub>(v)</span></i></span></i></span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;"></span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">s </span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。<span></span></span>
Input
输入文件中第一行有两个整数n 和m ，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1 到n 进行编号。接下来m 行，每行用三个整数a, b, c 描述一条连接结点a 和b，权值为c 的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。
Output
输出文件包括n 行，每行一个实数，精确到小数点后3 位。第i 行的实数表示结点i 在社交网络中的重要程度。
Examples
Input
4 4 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1
Output
1.000 1.000 1.000 1.000
Hint
样例说明
社交网络如下图所示
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left"> <span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">对于</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点而言，只有</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号到</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点和</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号到</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点的最短路经过</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点，而</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点<span></span></span> </p>和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义，1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是1。
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left"> <b><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">数据范围<span></span></span></b> </p> <p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left"> <span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">50% </span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">的数据中：</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">n</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">,m</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">45</span> </p> <p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left"> <span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">100% </span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">的数据中：</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">n</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">100</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">,m</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4500</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">，任意一条边的权值</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">c </span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">是正整数，满足：</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">c</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1000</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">。<span></span></span> </p> <p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left"> <span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span><sup><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span></sup><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">。<span></span></span> </p>
Solution C++
/* author :hzoi_ztx title : ALG : comment: [2014 10 16 test] */ #include <cstdio> #define maxn 102 #define sig -1 int n , m , g[maxn][maxn] ; double p[maxn][maxn] , ans[maxn] , tmp ; int main() { //#define READ #ifdef READ freopen("friend.in" ,"r",stdin ) ; freopen("friend.out","w",stdout) ; #endif //in int i , j , k , t ; scanf("%d%d", &n , &m ) ; for (i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { for (j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { p[i][j] = 1 ; g[i][j] = sig ; } ans[i] = 0 ; } while (m -- ) { scanf("%d%d%d", &i , &j , &k ) ; g[i][j] = g[j][i] = k ; } //求最短路 for (k = 1 ; k <= n ; k ++ ) { for (i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { if (k == i) continue ; for (j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { if (i == j || j == k) continue ; if (g[i][k] == sig || g[k][j] == sig) continue ; t = g[i][k]+g[k][j] ; tmp = p[i][k]*p[k][j] ; if (g[i][j] == sig || g[i][j] > t) { g[i][j] = t ; p[i][j] = tmp ; } else if (g[i][j] == t) p[i][j] += tmp ; } } } //计算答案 for (k = 1 ; k <= n ; k ++ ) { for (i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { if (i == k) continue ; for (j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { if (j==k || i==j) continue ; if (g[i][j] == g[i][k]+g[k][j]) ans[k] += p[i][k]*p[k][j]/p[i][j] ; } } } //out for (i = 1 ; i <= n ; i ++ ) printf("%.3f\n", ans[i] ) ; return 0 ; }
Hint
样例说明
社交网络如下图所示
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left">
<span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">对于</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点而言，只有</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号到</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点和</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号到</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点的最短路经过</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点，而</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">2</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">号结点<span></span></span>
</p>
和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义，1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是1。
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left">
<b><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">数据范围<span></span></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left">
<span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">50% </span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">的数据中：</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">n</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">,m</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">45</span>
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left">
<span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">100% </span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">的数据中：</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">n</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">100</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">,m</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">4500</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">，任意一条边的权值</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">c </span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">是正整数，满足：</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">c</span></i><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">≤</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">1000</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">。<span></span></span>
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<p class="MsoNormal" style="text-align:left;" align="left">
<span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过</span><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span><sup><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">10</span></sup><span style="font-size:12.0pt;font-family:宋体;">。<span></span></span>
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